Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana, membagi bidang menjadi bagian dalam dan bagian luar.
Lingkaran merupakan salah satu bentuk geometri yang banyak ditemukan di sekitar kita dan juga dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Lingkaran berguna dalam banyak bidang kehidupan, misal: olah raga, arsitektur, dan teknologi. Banyak alat olah raga yang memanfaatkan bentuk lingkaran seperti pada bentuk lapangan silat, papan target panahan, dan keranjang basket. Beberapa unsur bangun lingkaran antara lain sebagai berikut.
Besarnya sudut keliling adalah setengan dari sudut pusat yang dihadapnya.. Misal x adalah besarnya sudut pusat busur ataupun juring. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan keliling lingkaran adalah Panjang busur=x/360 x keliling lingkaran. Hubungan antara sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran adalah Luas juring=x/360 x keliling lingkaran.
Soal Uji Kompetensi
1. Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama luas. Tentukan:
a) Sudut pusat masing masing potongan.360 /6 = 60°
b) Luas potongan kue tersebut.
L potongan = L juring = 60/360 x πr²
= 1/6 22/7 . 14 . 14
=102,67 cm²
2. Tentukan keliling daerah yang diarsir pada bangun berikut.
A. r 1= 14 cm dan r2 = 7 cm
K = 1/2.2πr₁ + 2πr₂
K = 22/7 × 14 + 22/7 x 7
K = 44 cm + 22 cm
K seluruh = 44 + 22 = 66 cm
B. r = 14 cm
K = 4s + 1/2 × 2πr
K = 4 . 26 + 22/7 . 14
= 148 cm
3. Amati gambar di bawah ini.
Tentukan keliling dan luas daerah yang diarsir.
A. Luas persegi= 14 x 14 = 196 cm²
Luas lingkaran= 22/7 x 14 x 14/2= 308 cm²
Luas gabungan = 196 +308=504 cm²
Keliling = (14 x 3) + 22 = 42+22 = 64 cm
B. Luas lngkaran= 3,14 x 5 x 5 = 78,5 cm²
Luas persegi= (10 x 10) - {Luas 1/2 lingkaran}= 100cm² - 39,25 cm² = 60.75cm²
Luas gabungan = 78,5 + 60,75 = 139,25
Keliling = 31,4+30+7,85 = 69,25 cm
4. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar sudut pusat AOB adalah 90°, kemudian jari-jarinya = 21 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.
L arsir = L 1/4 O - L segitiga
= 1/4 . 22/7 . 21.21 - 1/2.21.21
= 1/4 x 1386 - 1/2 . 441
= 346,5 - 220,5
= 126 cm²
5. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar disamping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Hitunglah:
a. Jari-jari lingkaran O
b. Luas daerah yang diarsir
6. Diketahui ∠ OAB = 55° dan AB = BC. Pada gambar dibawah, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Tentukan besar sudut yang belum diketahui.
Sudut OAB = 55°
⇒ Sudut ABO = sudut OAB = 55° (segitiga sama kaki)
⇒ Sudut AOB = 180 - (2 x 55°) = 70°
⇒ Sudut ACB = 1/2 x sudut AOB = 1/2 x 70° = 35° (mnghadap busur yang sama dg AOB)
⇒ Sudut BAC = sudut ACB = 35°
⇒ Sudut ABC = 180 - (2 x 35°) = 110°
7. Diketahui segitiga ABC yang ketiga titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika panjang sisi segitiga 14 cm, tentukan luas daerah yang di arsir.
8. Perhatikan gambar di bawah ini.
Diketahui AEB = 62°
Hitunglah besar: ∠ ADB, ∠ ACB, dan ∠ ABC
Diketahui ∠AEB = 62°
Jadi, ∠ADB = 62°
∠ACB = 62°
∠ABC = 90°
9. Perhatikan gambar di bawah ini.
Bila diketahui ∠ APB + ∠ AQB + ∠ ARB = 144°, maka tentukan besar ∠ AOB .
APB = ARB = AQB Maka :
APB + AQB + ARB =144°
APB + APB + APB =144°
APB = 144° : 3 = 48°
Sedangkan AOB = 2 AQB = 2 APB = 2 x 48° = 96°
10. Perhatikan lingkaran O di bawah.
Diketahui m∠BOD = 110° Tentukan m∠BCD.
∠BOD + ∠BCD = 180°
110° + ∠BCD = 180
∠BCD = 180° - 110°
∠BCD = 70°
11. Suatu pabrik membuat biskuit yang berbentuk lingkaran padat dengan diameter 5 cm. Sebagai variasi pabrik tersebut juga ingin membuat biskuit dengan ketebalan sama namun berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 90°. Tentukan diameter biskuit tersebut agar bahan produksinya sama dengan biskuit yang berbentuk lingkaran.
Misal r₁ = jari-jari biskuit berbentuk lingkaran
r₂ = jari-jari biskuit berbentuk juring lingkaran
Luas lingkaran = luas juring
Luas lingkaran = 3,14 x 2,5² = 19,625
juring = 90 / 360 x 3,14 x r²
19,625 = 1/4 x 3,14 x r²
25 = r²
r = 5 cm
Diameternya harus = 2 x 5 = 10 cm
12. Pak Santoso memiliki lahan di belakang rumahnya berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisi 28 m × 28 m. Taman tersebut sebagian akan dibuat kolam (tidak diarsir) dan sebagian lagi rumput hias (diarsir). Jika biaya pemasangan rumput Rp50.000,00/ m². Sedangkan biaya tukang pemasang rumput
Rp250.000,00.
a. Tentukan keliling lahan rumput milik Pak Santoso tersebut.
Luas persegi dikurangi luas lingkaran = 28 x 28 - 22/7 x 14 x 14
= 784 - 616 = 168
b. Tentukan anggaran yang harus disiapkan oleh Pak Santoso untuk mengolah lahan tersebut .
Biaya : 168 x 50.000 + 250.000 = 8.650.000.
13. Diketahui bahwa luas daerah yang diarsir setengah dari luas daerah yang tidak diarsir . Tentukan AB ÷ AC.
14. Diketahui persegi ABCD tersusun dari empat 4 persegi kecil sama ukuran dengan panjang sisi = 10 cm. Tentukan luas daerah yang diarsir berikut. Jelaskan.
15. Diketahui dua lingkaran yang isosentris (pusatnya sama di O). Jika AB = 70 cm, tentukan luas daerah yang diarsir. Petunjuk: Ingat kembali teorema pythagoras
16. Suatu pabrik biskuit memproduksi dua jenis biskuit berbentuk cakram dengan ketebalan sama, tetapi diameternya beda. Permukaan kue yang kecil dan besar masing-masing berdiameter 7 cm dan 10 cm.Biskuit tersebut dibungkus dengan dua kemasan berbeda. Kemasan biskuit kecil berisi 10 biskuit dijual dengan harga Rp7.000,00 sedangkan kemasan kue besar berisi 7 biskuit dijual dengan harga Rp10.000,00 Manakah yang lebih menguntungkan, membeli kemasan biskuit yang kecil atau
yang besar? Tuliskan alasanmu?
Diketahui:
Biskuit kecil harga 7.000
Biskuit besar harga 10.000
2) Volume
Biskuit kecil: 22/7 x 3,5 x 3,5 = 38,5 x 10 = 385
Biskuit besar: 3,14 x 5 x 5 = 78,5 x 7 = 549,5
Jadi lebih baik memilih yang besar karena harganya sama dengan yang kecil tetapi volume lebih besar.
17. Suatu ketika anak kelas VIII SMPN 1 Malang mengadakan study tour ke Kebun Raya
Pasuruan. Guru menugasi siswa untuk memperkirakan diameter suatu pohon yang cukup besar. Erik, Dana, Veri, Nia, dan Ria berinisiatif untuk menghitung diameter pohon tersebut dengan mengukur keliling pohon. Mereka saling mengaitkan ujung jari seperti terlihat pada gambar. Rata-rata panjang dari ujung jari kiri sampai ujung jari kanan setiap siswa adalah 120 cm. Jika tepat lima anak tersebut saling bersentuhan ujung jarinya untuk mengelilingi pohon tersebut, bisakah kalian menentukan (perkiraan) panjang diameter pohon tersebut?
Keliling lingkaran = 120 x 5 = 600 cm
Keliling lingkaran = π d sehingga d = K/π
d = 600 : 3,14
d = 191,083 cm
perkiraan panjang diameter adalah 191,083 cm
18. Suatu ban mobil berdiameter 60 cm (0,6 m). Ban tersebut bergaransi hingga menempuh
70.000 km. Sampai dengan berapa putaran ban tersebut hingga masa garansinya habis? (1km
= 1.000 m)
K = π x d
K = 3,14 x 0,6
K = 1,884 m
K = satu putaran ban
Jika menempuh 70.000 km, maka ban berputar sebanyak:
70.000 km / K = 70.000.000 m / 1,884 m
= 37.154.989,38 kali
19. Suatu satelit beredar mengelilingi bumi pada ketinggian 2.000 km dari permukaan bumi. Jika
perkiraan diameter bumi adalah 12.800 km, tentukan panjang lintasan yang ditempuh satelit
tersebut untuk satu kali mengorbit mengelilingi bumi.
Diameter lintasan satelit = diameter bumi + 2 x ketinggian satelit
= 12.800 + 2 x 2000
= 16.800 km
panjang lintasan satu kali mengorbit = 22/7 x diameter lintasan satelit
= 22/7 x 16.800
= 52.800 km
20. Perhatikan gambar berikut.
Sebutkan sebanyak mungkin (jika ada) bagian yang disebut :
a. Jari-jari
b. Diameter
c. Juring
d. Tali busur
e. Busur
f. Tembereng
g. Apotema
h. Sudut keliling
Lingkaran merupakan salah satu bentuk geometri yang banyak ditemukan di sekitar kita dan juga dimanfaatkan dalam kehidupan sehari-hari. Lingkaran berguna dalam banyak bidang kehidupan, misal: olah raga, arsitektur, dan teknologi. Banyak alat olah raga yang memanfaatkan bentuk lingkaran seperti pada bentuk lapangan silat, papan target panahan, dan keranjang basket. Beberapa unsur bangun lingkaran antara lain sebagai berikut.
- Busur adalah himpunan titik-titik yang berupa kurva lengkung (baik terbuka atau tertutup) dan berhimpit dengan lingkaran.
- Jari-jari adalah ruas garis lurus yang menghubungkan titik pada lingkaran dengan titik pusat.
- Diameter adalah ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui titik pusat. Atau tali busur yang melalui titik pusat. Atau ruas garis lurus terpanjang yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
- Tali busur adalah ruas garis lurus yang kedua titik ujungnya pada lingkaran. Atau ruas garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
- Apotema adalah ruas garis terpendek yang menghubungkan titik pusat dengan titik pada tali busur.
- Juring adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua jari-jari.
- Tembereng adalah daerah di dalam lingkaran yang dibatasi oleh tali busur dan busur.
- Sudut pusat adalah sudut yang titik pusatnya adalah titik pusat lingkaran.
- Sudut keliling adalah daerah sudut yang dibatasi oleh dua talibusur yang berpotongan di satu titik pada lingkaran dan titik sudutnya teletak pada keliling lingkaran.
- Segi empat tali busur adalah segi empat yang keempat titik sudutnya berhimpit dengan suatu lingkaran
Besarnya sudut keliling adalah setengan dari sudut pusat yang dihadapnya.. Misal x adalah besarnya sudut pusat busur ataupun juring. Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan keliling lingkaran adalah Panjang busur=x/360 x keliling lingkaran. Hubungan antara sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran adalah Luas juring=x/360 x keliling lingkaran.
Soal Uji Kompetensi
1. Suatu kue berbentuk lingkaran padat dengan jari-jari 14 cm. Kue tersebut dibagi menjadi 6 bagian berbentuk juring yang sama luas. Tentukan:
a) Sudut pusat masing masing potongan.360 /6 = 60°
b) Luas potongan kue tersebut.
L potongan = L juring = 60/360 x πr²
= 1/6 22/7 . 14 . 14
=102,67 cm²
2. Tentukan keliling daerah yang diarsir pada bangun berikut.
K = 1/2.2πr₁ + 2πr₂
K = 22/7 × 14 + 22/7 x 7
K = 44 cm + 22 cm
K seluruh = 44 + 22 = 66 cm
B. r = 14 cm
K = 4s + 1/2 × 2πr
K = 4 . 26 + 22/7 . 14
= 148 cm
3. Amati gambar di bawah ini.
A. Luas persegi= 14 x 14 = 196 cm²
Luas lingkaran= 22/7 x 14 x 14/2= 308 cm²
Luas gabungan = 196 +308=504 cm²
Keliling = (14 x 3) + 22 = 42+22 = 64 cm
B. Luas lngkaran= 3,14 x 5 x 5 = 78,5 cm²
Luas persegi= (10 x 10) - {Luas 1/2 lingkaran}= 100cm² - 39,25 cm² = 60.75cm²
Luas gabungan = 78,5 + 60,75 = 139,25
Keliling = 31,4+30+7,85 = 69,25 cm
4. Perhatikan gambar di bawah ini. Besar sudut pusat AOB adalah 90°, kemudian jari-jarinya = 21 cm. Hitunglah luas daerah yang diarsir.
= 1/4 . 22/7 . 21.21 - 1/2.21.21
= 1/4 x 1386 - 1/2 . 441
= 346,5 - 220,5
= 126 cm²
5. Perhatikan gambar berikut.
Pada gambar disamping, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Hitunglah:
a. Jari-jari lingkaran O
b. Luas daerah yang diarsir
6. Diketahui ∠ OAB = 55° dan AB = BC. Pada gambar dibawah, panjang AB = 12 cm dan AC = 16 cm. Titik O merupakan titik pusat lingkaran. Tentukan besar sudut yang belum diketahui.
⇒ Sudut ABO = sudut OAB = 55° (segitiga sama kaki)
⇒ Sudut AOB = 180 - (2 x 55°) = 70°
⇒ Sudut ACB = 1/2 x sudut AOB = 1/2 x 70° = 35° (mnghadap busur yang sama dg AOB)
⇒ Sudut BAC = sudut ACB = 35°
⇒ Sudut ABC = 180 - (2 x 35°) = 110°
7. Diketahui segitiga ABC yang ketiga titik sudutnya berada pada lingkaran O. Jika panjang sisi segitiga 14 cm, tentukan luas daerah yang di arsir.
8. Perhatikan gambar di bawah ini.
Hitunglah besar: ∠ ADB, ∠ ACB, dan ∠ ABC
Diketahui ∠AEB = 62°
Jadi, ∠ADB = 62°
∠ACB = 62°
∠ABC = 90°
9. Perhatikan gambar di bawah ini.
APB = ARB = AQB Maka :
APB + AQB + ARB =144°
APB + APB + APB =144°
APB = 144° : 3 = 48°
Sedangkan AOB = 2 AQB = 2 APB = 2 x 48° = 96°
10. Perhatikan lingkaran O di bawah.
∠BOD + ∠BCD = 180°
110° + ∠BCD = 180
∠BCD = 180° - 110°
∠BCD = 70°
11. Suatu pabrik membuat biskuit yang berbentuk lingkaran padat dengan diameter 5 cm. Sebagai variasi pabrik tersebut juga ingin membuat biskuit dengan ketebalan sama namun berbentuk juring lingkaran dengan sudut pusat 90°. Tentukan diameter biskuit tersebut agar bahan produksinya sama dengan biskuit yang berbentuk lingkaran.
Misal r₁ = jari-jari biskuit berbentuk lingkaran
r₂ = jari-jari biskuit berbentuk juring lingkaran
Luas lingkaran = luas juring
Luas lingkaran = 3,14 x 2,5² = 19,625
juring = 90 / 360 x 3,14 x r²
19,625 = 1/4 x 3,14 x r²
25 = r²
r = 5 cm
Diameternya harus = 2 x 5 = 10 cm
12. Pak Santoso memiliki lahan di belakang rumahnya berbentuk persegi dengan ukuran panjang sisi 28 m × 28 m. Taman tersebut sebagian akan dibuat kolam (tidak diarsir) dan sebagian lagi rumput hias (diarsir). Jika biaya pemasangan rumput Rp50.000,00/ m². Sedangkan biaya tukang pemasang rumput
Rp250.000,00.
Luas persegi dikurangi luas lingkaran = 28 x 28 - 22/7 x 14 x 14
= 784 - 616 = 168
b. Tentukan anggaran yang harus disiapkan oleh Pak Santoso untuk mengolah lahan tersebut .
Biaya : 168 x 50.000 + 250.000 = 8.650.000.
13. Diketahui bahwa luas daerah yang diarsir setengah dari luas daerah yang tidak diarsir . Tentukan AB ÷ AC.
15. Diketahui dua lingkaran yang isosentris (pusatnya sama di O). Jika AB = 70 cm, tentukan luas daerah yang diarsir. Petunjuk: Ingat kembali teorema pythagoras
16. Suatu pabrik biskuit memproduksi dua jenis biskuit berbentuk cakram dengan ketebalan sama, tetapi diameternya beda. Permukaan kue yang kecil dan besar masing-masing berdiameter 7 cm dan 10 cm.Biskuit tersebut dibungkus dengan dua kemasan berbeda. Kemasan biskuit kecil berisi 10 biskuit dijual dengan harga Rp7.000,00 sedangkan kemasan kue besar berisi 7 biskuit dijual dengan harga Rp10.000,00 Manakah yang lebih menguntungkan, membeli kemasan biskuit yang kecil atau
yang besar? Tuliskan alasanmu?
Diketahui:
Biskuit kecil harga 7.000
Biskuit besar harga 10.000
2) Volume
Biskuit kecil: 22/7 x 3,5 x 3,5 = 38,5 x 10 = 385
Biskuit besar: 3,14 x 5 x 5 = 78,5 x 7 = 549,5
Jadi lebih baik memilih yang besar karena harganya sama dengan yang kecil tetapi volume lebih besar.
17. Suatu ketika anak kelas VIII SMPN 1 Malang mengadakan study tour ke Kebun Raya
Pasuruan. Guru menugasi siswa untuk memperkirakan diameter suatu pohon yang cukup besar. Erik, Dana, Veri, Nia, dan Ria berinisiatif untuk menghitung diameter pohon tersebut dengan mengukur keliling pohon. Mereka saling mengaitkan ujung jari seperti terlihat pada gambar. Rata-rata panjang dari ujung jari kiri sampai ujung jari kanan setiap siswa adalah 120 cm. Jika tepat lima anak tersebut saling bersentuhan ujung jarinya untuk mengelilingi pohon tersebut, bisakah kalian menentukan (perkiraan) panjang diameter pohon tersebut?
Keliling lingkaran = 120 x 5 = 600 cm
Keliling lingkaran = π d sehingga d = K/π
d = 600 : 3,14
d = 191,083 cm
perkiraan panjang diameter adalah 191,083 cm
18. Suatu ban mobil berdiameter 60 cm (0,6 m). Ban tersebut bergaransi hingga menempuh
70.000 km. Sampai dengan berapa putaran ban tersebut hingga masa garansinya habis? (1km
= 1.000 m)
K = π x d
K = 3,14 x 0,6
K = 1,884 m
K = satu putaran ban
Jika menempuh 70.000 km, maka ban berputar sebanyak:
70.000 km / K = 70.000.000 m / 1,884 m
= 37.154.989,38 kali
19. Suatu satelit beredar mengelilingi bumi pada ketinggian 2.000 km dari permukaan bumi. Jika
perkiraan diameter bumi adalah 12.800 km, tentukan panjang lintasan yang ditempuh satelit
tersebut untuk satu kali mengorbit mengelilingi bumi.
Diameter lintasan satelit = diameter bumi + 2 x ketinggian satelit
= 12.800 + 2 x 2000
= 16.800 km
panjang lintasan satu kali mengorbit = 22/7 x diameter lintasan satelit
= 22/7 x 16.800
= 52.800 km
20. Perhatikan gambar berikut.
a. Jari-jari
b. Diameter
c. Juring
d. Tali busur
e. Busur
f. Tembereng
g. Apotema
h. Sudut keliling
